欧拉公式（英语：Euler’s formula，又称尤拉公式）是在复分析领域的公式，将三角函数与复数指数函数相关联，因其提出者莱昂哈德·欧拉而得名。尤拉公式提出，对任意实数 xx，都存在: 

 

ejx=cosx+jsinxejx=cos⁡x+jsin⁡x

其中jj是虚数单位。

 

由上式，我们可以推导出： 

 

sinϕ=12j(ejϕ−e−jϕ)sin⁡ϕ=12j(ejϕ−e−jϕ)

 

cosϕ=12(ejϕ+e−jϕ)cos⁡ϕ=12(ejϕ+e−jϕ)

 

证明：

有许多方式可以证明欧拉公式，这里仅用泰勒级数进行证明，其他方式可以参考Wiki 

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在知乎上看到了Heinrich写的一篇关于傅里叶变换的文章，让我茅塞顿开，惊叹数学的美丽和神奇，文章中介绍了复数的意义，我觉得讲的很好，故记录下来：

虚数i这个概念大家在高中就接触过，但那时我们只知道它是-1的平方根，可是它真正的意义是什么呢? 

 

这里有一条数轴，在数轴上有一个红色的线段，它的长度是1。当它乘以3的时候，它的长度发生了变化，变成了蓝色的线段，而当它乘以-1的时候，就变成了绿色的线段，或者说线段在数轴上围绕原点旋转了180度。

我们知道乘-1其实就是乘了两次 i使线段旋转了180度，那么乘一次 i 呢——答案很简单——旋转了90度。 

 

我们就求同一坐标系A一点旋转B角度到A'后A'的坐标是多少吧。先设A(x,y),当然也可以表示为rxexp(ja)，r表示A到坐标原点O的距离，exp是以自然常数e为底的指数函数，a是角度，如下图，x=rcos(a)，y=rsin(a)，只是这里引入了复数，跟原先的坐标系有区别。A'就表示为rxexp(j(a+B))，x'=rcos(a+B)，y'=rsin(a+B)。怎么用x,y,B表示A'就不多说了。自己写一下才会了解。

那么对于坐标系旋转的类似问题，你是不是也理解了呢。